第一章 复数与复变函数

  1. 有关共轭复数的几个运算性质：

​ $\overline{z_1\pm z_2} =\overline{z_1} \pm \overline{z_2}$ $\overline{z_1 \cdot z_2} =\overline{z_1} \cdot\overline{z_2}$ $\overline{\frac{z_1}{z_2}}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$ $\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{ { \lvert z \rvert ^2} }$

  1. DeMorive 公式

​ $z^n=[r(\cos \theta + i \sin\theta)]^n=r^n (\cos n\theta+i\sin n\theta)$

  1. 概念辨析：

    开集，闭集，余集，边界，边界点，孤立点，有界集，无界集

    孤立点一定是边界点

    区域（$D$，连通开集），闭区域（$\overline{D}$）

    全平面既是区域又是闭区域。

  2. 连续的定义：

    如果 $\underset{z\rightarrow z_0}{\lim} f(z)=z_0$ 成立，则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处连续。

第二章 解析函数

  1. 可导的定义：

    如果 $\underset{\Delta z\rightarrow 0}{\lim} \frac{\Delta w}{\Delta z}=\underset{\Delta z\rightarrow 0}{\lim} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$ 存在有限的极限值 A，则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处可导。

    某点可导（可微） ==> 连续

  2. 解析的定义：

    某点及该点的邻域内处处可导，则称 $f(z)$ 在该点解析。

    解析是区域概念，点可导与点解析不同。

  3. 函数解析的充要条件：

    $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 在 $z=x+iy$ 处可导

    <==>

    $u, v$ 在$(x,y)$ 处可微（一阶偏导存在且连续）， $u_x=v_y, u_y=-v_x$ （柯西——黎曼方程（C-R 方程））

    经典案例：

    $$
    u(x,y)=v(x,y)=
    \begin{cases}
    {\frac{xy}{x^2+y^2} }, x^2+y^2 \ne 0\
    0, else
    \end{cases}
    $$

    $f’(z)=u_x+i v_x=v_y+ iv_x=u_x-i u_y=v_y-iu_y$。

  4. 调和函数：

    二元实函数 $\phi(x,y)$ 在区域 $D$ 内有二阶连续偏导数，且满足 $\phi_{xx}+\phi_{yy}=0$。

    区域内解析 ==> 实部和虚部都调和

    区域内解析 <= => 区域内可微 + CR 方程 <= => 虚部是实部的共轭调和（两个调和满足 CR 方程）

第三章 复变函数的积分

  1. $\int_Cf(z)dz=\int_Cudx-vdy+i\int_Cvdx+udy$ $\int_Cf(z)dz=\int_a^bf(z(t))z’(t)dz$

    经典案例：

    $$
    \oint_C \frac{dz}{ {(z-z_0)}^n}=
    \begin{cases}
    2\pi i, n=1\
    0, else
    \end{cases}
    $$

  2. 柯西积分定理：设函数 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析，则 $f(z)$ 在 $D$ 内沿任意一条简单闭曲线 $C$ 的积分 $\int_Cf(z)dz=0$。

    辅助证明：需要证明 $f’(z)$ 连续这一条件。

    格林公式：$\oint_CPdx+Qdy=\iint_D(Q_x-P_y)dxdy$

    闭路变形原理

  3. 柯西积分公式：设 $f(z)$ 在简单闭曲线 $C$ 所围成的区域 $D$ 内解析，在 $\bar{D}=D\cup C$ 上连续，$z_0$ 是 $D$ 内任一点，则 $f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz$。

    推论：

    （平均值公式）设 $f(z)$ 在 $ \lvert z-z_0 \rvert <R$ 内解析，在 $ \lvert z-z_0 \rvert \le R$ 上连续，则 $f(z_0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0+Re^{i\theta})d\theta$。

    （最大模原理）

  4. 解析函数的高阶导数：（解析函数的导数仍然是解析的）

    设函数 $f(z)$ 在简单闭曲线 $C$ 所围成的区域 $D$ 内解析，而在 $\bar{D}=D\cup C$ 上连续，则 $f(z)$ 的各阶导函数均在 $D$ 内解析，对 $D$ 内任一点 $z$，有 $f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}d\zeta$。

第四章 解析函数的级数表示

  1. 阿贝尔定理（幂级数收敛边界内绝对收敛，边界敛散性不定。）

  2. 泰勒级数:

    设函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，$z_0$ 为 $D$ 内一点，$R$ 为 $z_0$ 到 $D$ 的边界上各点的最短距离，则当 $ \lvert z-z_0 \rvert <R$ 时，$f(z)$ 可展为幂级数 $f(z)=\overset{\infty}{\underset{n=0}{\sum}}C_n(z-z_0)^n$，其中 $C_n = \frac{1}{n!}f^{(n)}(z_0)$，$n \in N^+$。

    若 $f(z)$ 在 $D$ 内有奇点，则 $R$ 为距离 $z_0$ 最近的一个奇点。

  3. 洛朗级数：

    设函数 $f(z)$ 在圆环域 $R_1 < \lvert z-z_0 \rvert < R_2$ 内处处解析，则 $f(z)$ 一定能在此圆环域中展开为 $f(z)=\overset{\infty}{\underset{n=-\infty}{\sum}}C_n(z-z_0)^n$，其中 $C_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n+1}}d\zeta$，$n\in Z$。

    级数中正整数次幂称为洛朗级数的解析部分，负整数次幂称为主要部分。

    重要公式：$1+z+z^2+\cdots + z^n +\cdots = \frac{1}{z-1}$，$ \lvert z \rvert <1$。

第五章 留数及其应用

  1. 孤立奇点：

    可去奇点（$n < 0$ 时，$C_n = 0$）

    ​ <==> $\underset{z\rightarrow z_0}{\lim}f(z)=C_0\ne \infty$。

    极点（对于正整数 $m$，有 $C_{-m}\ne 0$，而 $n < -m$ 时，$C_n=0$，则为 $m$ 阶极点 <==> $f(z)=\frac{1}{(z-z_0)^m}\phi(z)$，其中 $\phi(z)$ 在 $z_0$ 处解析且 $\phi(z_0)\ne 0$）

    ​ <==> $\underset{z\rightarrow z_0}{\lim}(z-z_0)^mf(z)=C_{-m}\ne 0$。

    本性奇点

    经典案例：$f(z)=\frac{1}{\sin\frac{1}{z}}$ 中，0 不是孤立奇点！

  2. 若 $f(z)$ 在 $z_0$ 解析，那么 $z_0$ 为 $f(z)$ 的 $m$ 阶零点 <==> $f^{(n)}(z_0)=0$，$n=0,1,2,\cdots,m-1$；$f^{(m)}(z_0)\ne 0$。

  3. 函数在无穷远点的性态（略）

  4. 留数：$f(z)$ 在孤立奇点 $z_0$ 处的洛朗级数中负一次幂的系数 $C_{-1}=Res[f(z), z_0]=\frac{1}{2\pi i}\oint_C f(z)dz$。

  5. 函数在极点的留数：

    若 $z_0$ 为 $f(z)$ 的简单极点，则 $Res[f(z), z_0]=\underset{z\rightarrow z_0}{\lim}(z-z_0)f(z)$。

    若 $f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$，其中 $P(z)$，$Q(z)$ 在 $z_0$ 处解析，若 $P(z_0)\ne 0$，$z_0$ 为 $Q(z)$ 的一阶零点，则 $z_0$ 为 $f(z)$ 的一阶极点，且 $Res[f(z), z_0]=\frac{P(z_0)}{Q’(z_)}$。

    如果 $z_0$ 为 $f(z)$ 的 $m$ 阶极点，则 $Res[f(z),z_0]=\frac{1}{(m-1)!}\underset{z\rightarrow z_0}{\lim}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z-z_0)^mf(z)]$。

  6. 若 $f(z)$ 在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点），则 $f(z)$ 在各点的留数总和为 0。

  7. 无穷远点的留数：$Res[f(z), \infty]=-Res[f(\frac{1}{z})\cdot \frac{1}{z^2}, 0]$。

第六章 共形映射

第七章（略）

第八章 傅里叶变换

常用性质：

常见变换对：

第九章 拉普拉斯变换

常用性质：

$f(at) \leftrightarrow \frac{1}{a}F(\frac{s}{a})$

$\mathcal{L}[f^{(n)}(t)]=s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f’(0)- \cdots - f^{(n-1)}(0)$

$\mathcal{L}[f’(t)]=sF(s)-f(0)$

$\mathcal{L}[(\int_0^t)^nf(t)dt]=\frac{1}{s^n}F(s)$

$\mathcal{L}[\int_0^tf(t)dt]=\frac{1}{s}F(s)$

$F^{(n)}(s)=(-1)^n\mathcal{L}[t^nf(t)]$

$F’(s)=-\mathcal{L}[tf(t)]$

$(\int_s^\infty)^n F(s)ds=\mathcal{L}[\frac{f(t)}{t^n}]$

$\int_s^\infty F(s)ds=\mathcal{L}[\frac{f(t)}{t}]$

经典案例：

$\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t}dt = \frac{\pi}{2}$ $\int_0^{+\infty}\frac{1-\cos t}{t}e^{-t}dt=\frac{ln 2}{2}$

$f(t-\tau)u(t-\tau) \leftrightarrow e^{-s\tau}F(s)$

$e^{at}f(t) \leftrightarrow F(s-a)$

周期函数的像函数：$f(t) \leftrightarrow \frac{1}{1-e^{-sT}}\int_0^Tf(t)e^{-st}dt$。

常见变换对：

$u(t) \leftrightarrow \frac{1}{s}$ $sgn(t) \leftrightarrow \frac{1}{s}$ $1 \leftrightarrow \frac{1}{s}$

$e^{\alpha t} \leftrightarrow \frac{1}{s-a}$ $e^{j\omega t} \leftrightarrow \frac{1}{s-j\omega}$

$\cos \omega t \leftrightarrow \frac{s}{s^2+\omega^2}$ $\sin \omega t \leftrightarrow \frac{\omega}{s^2+\omega^2}$

$t^m \leftrightarrow \frac{m!}{s^{m+1}}$